Matematik fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann, fungsi berguna dalam teori nombor untuk menyiasat sifat nombor perdana. Ditulis sebagai ζ (x), pada asalnya ditakrifkan sebagai siri tak terbatasζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. Apabila x = 1, siri ini dipanggil siri harmonik, yang meningkat tanpa terikat — iaitu, jumlahnya tidak terbatas. Untuk nilai x lebih besar daripada 1, siri ini bertukar menjadi nombor terhingga kerana istilah berturut-turut ditambahkan. Sekiranya x kurang dari 1, jumlahnya sekali lagi tidak terhingga. Fungsi zeta diketahui oleh ahli matematik Switzerland Leonhard Euler pada tahun 1737, tetapi pertama kali dipelajari secara ekstensif oleh ahli matematik Jerman Bernhard Riemann.

Pada tahun 1859 Riemann menerbitkan sebuah makalah yang memberikan rumus eksplisit untuk jumlah bilangan prima hingga batas yang ditentukan sebelumnya — peningkatan yang ditentukan atas nilai perkiraan yang diberikan oleh teorema nombor perdana. Walau bagaimanapun, formula Riemann bergantung pada mengetahui nilai-nilai di mana versi umum fungsi zeta sama dengan sifar. (Fungsi Riemann zeta didefinisikan untuk semua nombor kompleks - nombor bentuk x + iy, di mana i = Akar kuadrat dari − 1 - kecuali untuk garis x = 1.) Riemann tahu bahawa fungsi itu sama dengan sifar untuk semua negatif bahkan bilangan bulat −2, −4, −6,

(disebut sifar sepele), dan bahawa ia mempunyai bilangan sifar yang tidak terhingga dalam jalur kritikal nombor kompleks antara garis x = 0 dan x = 1, dan dia juga tahu bahawa semua nol tidak sepihak adalah simetri berkenaan dengan kritikal garis x = ¹ / ₂. Riemann menduga bahawa semua sifar nontrivial berada pada garis kritikal, sangkaan yang kemudiannya dikenali sebagai hipotesis Riemann.

Pada tahun 1900, ahli matematik Jerman David Hilbert menyebut hipotesis Riemann sebagai salah satu soalan yang paling penting dalam semua matematik, seperti yang ditunjukkan oleh penyertaannya dalam senarai 23 masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam dirinya yang berpengaruh dan dia mencabar ahli matematik abad ke-20. Pada tahun 1915, ahli matematik Inggeris, Godfrey Hardy membuktikan bahawa bilangan sifar yang tidak terhingga berlaku pada garis kritikal, dan pada tahun 1986, angka sifar nontrivial pertama 1,500,000,001 ditunjukkan pada tahap kritikal. Walaupun hipotesisnya ternyata tidak benar, penyiasatan mengenai masalah sukar ini telah memperkaya pemahaman nombor kompleks.