Logik formal

Meja semantik

Sejak tahun 1980-an teknik lain untuk menentukan kesahan argumen di PC atau LPC telah mendapat popularitas, baik kerana kemudahan belajar dan pelaksanaannya secara langsung oleh program komputer. Mula-mula disarankan oleh ahli logika Belanda Evert W. Beth, ia dikembangkan sepenuhnya dan diumumkan oleh ahli matematik Amerika dan ahli logik Raymond M. Smullyan. Bergantung pada pemerhatian bahawa mustahil premis argumen yang sah menjadi benar sementara kesimpulannya salah, kaedah ini cuba mentafsirkan (atau menilai) premis sedemikian rupa sehingga mereka semua berpuas hati secara serentak dan penolakan kesimpulan juga berpuas hati. Kejayaan dalam usaha seperti itu akan menunjukkan argumen menjadi tidak sah, sementara kegagalan mencari tafsiran seperti itu akan menunjukkan bahawa ia adalah sah.

Pembinaan tabel semantik berjalan seperti berikut: menyatakan premis dan penolakan kesimpulan argumen dalam PC hanya menggunakan negasi (∼) dan disjunction (∨) sebagai penghubung cadangan. Hapuskan setiap kejadian dua tanda penolakan secara berurutan (contohnya, ∼∼∼∼∼a menjadi ∼a). Sekarang bina rajah pokok yang bercabang ke bawah sehingga setiap gangguan digantikan oleh dua cabang, satu untuk bahagian kiri dan satu untuk kanan. Perbezaan asal adalah benar jika salah satu cabang itu benar. Rujukan kepada undang-undang De Morgan menunjukkan bahawa penolakan gangguan adalah benar sekiranya penolakan kedua-dua gangguan itu benar [iaitu, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Pemerhatian semantik ini membawa kepada peraturan bahawa penolakan suatu gangguan menjadi satu cabang yang mengandungi penolakan setiap gangguan:

Pertimbangkan hujah berikut:

Tulis:

Sekarang hilangkan gangguan dan bentuk dua cabang:

Hanya jika semua ayat dalam sekurang-kurangnya satu cabang itu benar, mungkin premis asalnya benar dan kesimpulannya salah (sama dengan penolakan kesimpulan). Dengan menelusuri garis ke atas di setiap cabang ke bahagian atas pohon, seseorang memperhatikan bahawa tidak ada penilaian a di cabang kiri akan mengakibatkan semua ayat di cabang tersebut menerima nilai benar (kerana adanya a dan ∼a). Begitu juga, di cabang kanan kehadiran b dan makesb menjadikan penilaian tidak mungkin menghasilkan semua ayat cabang menerima nilai benar. Ini semua kemungkinan cabang; oleh itu, mustahil untuk mencari keadaan di mana premis itu benar dan kesimpulannya salah. Oleh itu, hujah asal adalah sah.

Teknik ini dapat diperluas untuk menangani penghubung lain:

Selanjutnya, dalam LPC, peraturan untuk memberi contoh wff yang diukur perlu diperkenalkan. Jelas, mana-mana cabang yang mengandungi kedua (∀x) ϕx dan ∼ϕy adalah satu di mana tidak semua ayat dalam cabang itu dapat dipuaskan secara serentak (dengan andaian ω-konsistensi; lihat metalogik). Sekali lagi, jika semua cabang gagal dipenuhi secara serentak, argumen asalnya adalah sah.

Sistem khas LPC

LPC sebagaimana dijelaskan di atas dapat diubah dengan membatasi atau memperluas jangkauan wff dengan pelbagai cara:

• 1. Sistem separa LPC. Beberapa sistem yang lebih penting yang dihasilkan oleh sekatan diuraikan di sini:

  • a. Mungkin diperlukan setiap pemboleh ubah predikat menjadi monad sementara masih membenarkan bilangan pemboleh ubah individu dan predikat yang tidak terbatas. Wff atom kemudiannya hanya terdiri daripada pembolehubah predikat diikuti oleh pemboleh ubah individu tunggal. Jika tidak, peraturan pembentukan tetap seperti sebelumnya, dan definisi kesahan juga seperti sebelumnya, walaupun dipermudahkan dengan cara yang jelas. Sistem ini dikenali sebagai LPC monadik; ia memberikan logik sifat tetapi bukan hubungan. Salah satu ciri penting sistem ini ialah sistem ini dapat diputuskan. (Pengenalan bahkan satu pemboleh ubah predikat tunggal, bagaimanapun, akan menjadikan sistem ini tidak dapat dipertimbangkan, dan, bahkan, bahkan sistem yang hanya mengandungi satu pemboleh ubah predikat tunggal dan tidak ada pembolehubah predikat lain sama sekali telah terbukti tidak dapat ditentukan.)

  • bA sistem yang lebih sederhana dapat dibentuk dengan mensyaratkan (1) setiap pemboleh ubah predikat menjadi monad, (2) hanya satu pemboleh ubah individu (misalnya, x) yang digunakan, (3) agar setiap kejadian pemboleh ubah ini terikat, dan (4) bahawa tiada pengukur berlaku dalam ruang lingkup yang lain. Contoh wff sistem ini adalah (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Apa sahaja ϕ adalah ψ dan χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("Ada sesuatu yang ϕ tetapi tidak ψ"); dan (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("Jika ada ϕ adalah ψ, maka ada sesuatu ϕ dan ψ"). Notasi untuk sistem ini dapat dipermudah dengan menghilangkan x di mana-mana dan menulis ∃ϕ untuk “Sesuatu adalah ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ ψ) untuk “Apa sahaja ϕ adalah ψ,” dan sebagainya. Walaupun sistem ini lebih dasar bahkan daripada LPC monadik (yang merupakan fragmen), bentuk kesimpulan yang luas dapat ditunjukkan di dalamnya. Ini juga merupakan sistem yang dapat ditentukan, dan prosedur keputusan dari jenis dasar dapat diberikan untuknya.

• 2. Sambungan LPC. Sistem yang lebih rumit, di mana pelbagai cadangan dapat dinyatakan, telah dibina dengan menambahkan simbol LPC baru dari pelbagai jenis. Penambahan yang paling mudah adalah:

  • a. Satu atau lebih pemalar individu (katakan, a, b,

    ): pemalar ini ditafsirkan sebagai nama individu tertentu; secara formal mereka dibezakan dari pemboleh ubah individu dengan fakta bahawa ia tidak dapat berlaku dalam pengukur; contohnya, (∀x) adalah pengukur tetapi (∀a) tidak.

  • b. Satu atau lebih pemalar predikat (katakan, A, B,

    ), masing-masing dari beberapa darjah yang ditentukan, yang dianggap sebagai sifat atau hubungan tertentu.

Penambahan yang lebih mungkin, yang memerlukan penjelasan yang lebih lengkap, terdiri daripada simbol yang dirancang untuk berfungsi. Pengertian fungsi dapat dijelaskan dengan cukup untuk tujuan sekarang seperti berikut. Ada dikatakan fungsi tertentu dari argumen n (atau, dari derajat n) ketika ada aturan yang menentukan objek yang unik (disebut nilai fungsi) setiap kali semua argumen ditentukan. Dalam domain manusia, misalnya, "ibu -" adalah fungsi monad (fungsi satu argumen), kerana bagi setiap manusia ada individu yang unik yang merupakan ibunya; dan dalam domain nombor semula jadi (iaitu, 0, 1, 2,

), "Jumlah - dan -" adalah fungsi dari dua argumen, kerana untuk setiap pasangan nombor semula jadi ada nombor semula jadi yang jumlahnya. Simbol fungsi boleh dianggap membentuk nama daripada nama lain (argumennya); oleh itu, setiap kali nombor nama x dan y, "jumlah x dan y" juga menamakan nombor, dan serupa untuk fungsi dan argumen lain.

Untuk membolehkan fungsi dinyatakan dalam LPC mungkin ada yang ditambahkan:

• c. Satu atau lebih pemboleh ubah fungsi (katakanlah, f, g,

  ) atau satu atau lebih pemalar fungsi (katakanlah, F, G,

  atau kedua-duanya, masing-masing dari beberapa darjah yang ditentukan. Yang pertama ditafsirkan sebagai merangkumi fungsi dari darjah yang ditentukan dan yang kedua sebagai yang menetapkan fungsi tertentu dari darjah itu.

Apabila ada atau semua a-c ditambahkan ke LPC, peraturan pembentukan yang disenaraikan dalam perenggan pertama bahagian pada kalkulus predikat bawah (lihat di atas Kalkulus predikat bawah) perlu diubah untuk membolehkan simbol baru dimasukkan ke dalam wffs. Ini boleh dilakukan seperti berikut: Istilah pertama kali didefinisikan sebagai (1) pemboleh ubah individu atau (2) pemalar individu atau (3) ungkapan apa pun yang dibentuk dengan awalan pemboleh ubah fungsi atau pemalar fungsi darjah n kepada sebarang istilah n (istilah ini - argumen simbol fungsi - biasanya dipisahkan dengan koma dan ditutup dalam kurungan). Peraturan pembentukan 1 kemudian diganti dengan:

• 1′. Ungkapan yang terdiri daripada pemboleh ubah predikat atau pemalar predikat darjah n diikuti oleh istilah n adalah wff.

Dasar aksiomatik yang diberikan dalam bahagian aksiomatisasi LPC (lihat di atas Axiomatisasi LPC) juga memerlukan pengubahsuaian berikut: dalam skema aksioma 2 istilah apa pun dibenarkan untuk menggantikan ketika β terbentuk, dengan syarat tidak ada pemboleh ubah yang bebas di istilah menjadi terikat dalam β. Contoh berikut akan menggambarkan penggunaan penambahan LPC yang disebutkan di atas: biarkan nilai pemboleh ubah individu menjadi nombor semula jadi; biarkan pemalar individu a dan b masing-masing untuk nombor 2 dan 3; biarkan A bermaksud "adalah perdana"; dan biarkan F mewakili fungsi diadik "jumlah dari." Kemudian AF (a, b) menyatakan proposisi "Jumlah 2 dan 3 adalah prima," dan (∃x) AF (x, a) menyatakan proposisi "Terdapat sejumlah sehingga jumlahnya dan 2 adalah perdana."

Pengenalan pemalar biasanya disertai dengan penambahan asas aksiomatik aksioma khas yang mengandungi pemalar tersebut, yang dirancang untuk menyatakan prinsip yang memegang objek, sifat, hubungan, atau fungsi yang diwakili oleh mereka - walaupun mereka tidak memegang objek, sifat, hubungan, atau fungsi secara umum. Mungkin diputuskan, misalnya, untuk menggunakan pemalar A untuk mewakili hubungan dyadic "lebih besar daripada" (sehingga Axy bermaksud "x lebih besar dari y" dan sebagainya). Hubungan ini, tidak seperti yang lain, bersifat transitif; iaitu, jika satu objek lebih besar dari satu detik dan yang kedua pada gilirannya lebih besar dari sepertiga, maka yang pertama lebih besar daripada yang ketiga. Oleh itu, skema aksioma khas berikut mungkin ditambahkan: jika t ₁, t ₂, dan t ₃ adalah istilah apa pun, maka (Pada ₁ t ₂ · Pada ₂ t ₃) ⊃ Pada ₁ t ₃ adalah aksioma. Dengan cara ini sistem dapat dibina untuk mengekspresikan struktur logik dari pelbagai disiplin tertentu. Kawasan di mana kebanyakan pekerjaan seperti ini dilakukan adalah aritmetik nombor semula jadi.

PC dan LPC kadangkala digabungkan menjadi satu sistem. Ini dapat dilakukan dengan lebih mudah dengan menambahkan pemboleh ubah proposisional ke dalam daftar primitif LPC, menambahkan aturan pembentukan yang memberi kesan bahawa pemboleh ubah proposisi yang berdiri sendiri adalah wff, dan menghapus "LPC" dalam skema aksioma 1. Ini menghasilkan sebagai ungkapan seperti itu sebagai (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx dan (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3. LPC-dengan-identiti. Perkataan "adalah" tidak selalu digunakan dengan cara yang sama. Dalam proposisi seperti (1) "Socrates adalah snub-nosed," ungkapan yang mendahului "adalah" menamakan individu dan ungkapan yang mengikuti itu bermaksud harta yang dikaitkan dengan individu itu. Tetapi, dalam proposisi seperti (2) "Socrates adalah ahli falsafah Athena yang minum hemlock," ungkapan yang mendahului dan mengikuti "adalah" kedua-dua nama individu, dan pengertian keseluruhan proposisi adalah bahawa individu yang dinamakan oleh yang pertama adalah individu yang sama dengan individu yang dinamakan oleh yang kedua. Oleh itu, dalam 2 "adalah" dapat dikembangkan menjadi "adalah individu yang sama seperti," sedangkan dalam 1 tidak dapat. Seperti yang digunakan dalam 2, "adalah" adalah singkatan dari hubungan dyadic - yaitu, identiti - yang ditegaskan oleh proposisi antara dua individu. Proposisi identiti harus difahami dalam konteks ini sebagai menegaskan tidak lebih daripada ini; khususnya tidak boleh dianggap sebagai menegaskan bahawa kedua-dua ungkapan penamaan mempunyai makna yang sama. Contoh yang banyak dibincangkan untuk menggambarkan titik terakhir ini adalah "Bintang pagi adalah bintang malam." Adalah salah bahawa ungkapan "bintang pagi" dan "bintang malam" sama, tetapi memang benar bahawa objek yang disebut oleh mantan adalah sama dengan yang disebut oleh yang terakhir (planet Venus).

Untuk membolehkan bentuk proposisi identiti dinyatakan, pemalar predikat dyad ditambahkan ke LPC, yang mana notasi yang paling biasa adalah = (ditulis antara, bukan sebelumnya, argumennya). Tafsiran x = y yang dimaksudkan ialah x adalah individu yang sama dengan y, dan bacaan yang paling mudah adalah "x sama dengan y." Negasinya ∼ (x = y) biasanya disingkat x as y. Untuk definisi model LPC yang diberikan sebelumnya (lihat Kesahan di LPC di atas) sekarang telah ditambahkan aturan (yang sesuai dengan cara yang jelas dengan penafsiran yang dimaksudkan) bahawa nilai x = y adalah 1 jika anggota yang sama D diberikan kepada kedua-dua x dan y dan jika tidak, nilainya adalah 0; kesahihan kemudiannya dapat ditakrifkan seperti sebelumnya. Penambahan berikut (atau beberapa yang setara) dibuat pada asas aksiomatik untuk LPC: aksioma x = x dan skema aksioma yang, di mana a dan b adalah sebarang pemboleh ubah individu dan α dan β adalah wffs yang berbeza hanya dalam hal itu, pada satu atau lebih tempat di mana α mempunyai kejadian bebas a, β mempunyai kejadian bebas b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) adalah aksioma. Sistem sedemikian dikenali sebagai predikat rendah-kalkulus-dengan-identiti; tentu saja dapat ditambah dengan cara lain yang disebutkan di atas dalam "Peluasan LPC", dalam hal ini istilah apa pun dapat menjadi argumen =.

Identiti adalah hubungan kesetaraan; iaitu, refleksif, simetri, dan transitif. Refleksivitinya secara langsung dinyatakan dalam aksioma x = x, dan teorema yang menyatakan simetri dan transitivitasnya dapat diperoleh dengan mudah dari dasar yang diberikan.

Sebilangan besar LPC-dengan-identiti menyatakan cadangan mengenai jumlah barang yang memiliki harta tertentu. "Sekurang-kurangnya satu perkara ϕ" tentu saja sudah dapat dinyatakan oleh (∃x) ϕx; "Sekurang-kurangnya dua perkara yang berbeza (tidak dikenali) can" kini dapat dinyatakan oleh (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); dan urutan dapat diteruskan dengan cara yang jelas. "Paling banyak satu adalah ϕ" (iaitu, "Tidak ada dua perkara yang berbeza keduanya ϕ") dapat dinyatakan dengan penolakan wff yang disebut terakhir atau dengan yang setara, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], dan urutannya dapat dilanjutkan dengan mudah. Rumus untuk "Tepat satu perkara adalah ϕ" dapat diperoleh dengan menggabungkan formula untuk "Sekurang-kurangnya satu perkara adalah ϕ" dan "Paling banyak satu adalah ϕ," tetapi wff yang lebih sederhana bersamaan dengan konjungsi ini adalah (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], yang bermaksud "Ada sesuatu yang ϕ, dan apa sahaja yang ϕ adalah benda itu." Proposisi "Tepat dua perkara ϕ" dapat ditunjukkan oleh (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; iaitu, "Ada dua perkara yang tidak dikenali yang masing-masing adalah ϕ, dan apa sahaja yang ϕ adalah satu atau yang lain." Jelasnya, urutan ini juga dapat diperluas untuk memberikan formula untuk "Tepat n perkara ϕ" untuk setiap nombor semula jadi n. Adalah lebih baik untuk menyingkat wff untuk "Tepat satu perkara adalah ϕ" hingga (∃! X) ϕx. Pengukur khas ini sering dibaca dengan kuat sebagai "E-Shriek x."

Penerangan yang pasti

Apabila harta tertentu to tergolong dalam satu dan satu objek, lebih baik mempunyai ungkapan yang menamakan objek tersebut. Notasi umum untuk tujuan ini adalah (ιx) ϕx, yang dapat dibaca sebagai "benda yang ϕ" atau lebih singkat sebagai "the ϕ." Secara umum, di mana a adalah pemboleh ubah individu dan α adalah wff, (ιa) α kemudian bermaksud nilai tunggal a yang menjadikan α benar. Ungkapan bentuk "begitu-dan-begitu" disebut keterangan pasti; dan (ιx), yang dikenali sebagai operator penerangan, dapat dianggap membentuk nama individu daripada bentuk cadangan. (ιx) mirip dengan pengukur kerana, apabila diawali dengan wff α, ia mengikat setiap kejadian bebas x dalam α. Pengalihan semula pemboleh ubah terikat juga dibenarkan; dalam kes paling sederhana, (ιx) ϕx dan (ιy) eachy masing-masing dapat dibaca hanya sebagai "the ϕ."

Sejauh peraturan pembentukan, deskripsi pasti dapat dimasukkan ke dalam LPC dengan membiarkan ungkapan bentuk (ιa) α dikira sebagai istilah; peraturan 1 ′ di atas, dalam "Sambungan LPC", kemudian membenarkannya berlaku dalam formula atom (termasuk formula identiti). "Φ adalah (yaitu, memiliki properti) ψ" kemudian dapat dinyatakan sebagai ψ (ιx) ϕx; “Y adalah (individu yang sama dengan) ϕ” dengan y = (ιx) ϕx; "The individual adalah (individu yang sama dengan) ψ" seperti (ιx) ϕx = (ιy) ψy; dan sebagainya.

Analisis proposisi yang betul yang mengandungi keterangan pasti telah menjadi topik kontroversi falsafah. Namun, satu akaun yang diterima secara meluas - yang secara substansial disajikan dalam Principia Mathematica dan dikenali sebagai teori deskripsi Russell - berpendapat bahawa "The ψ is ψ" harus difahami sebagai yang bermaksud bahawa satu perkara adalah ϕ dan perkara itu juga ψ. Dalam hal ini dapat dinyatakan dengan sebilangan besar LPC-dengan-identiti yang tidak mengandungi operator keterangan-iaitu, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Secara analogi, “y is the ϕ” dianalisis sebagai “y is ϕ dan tidak ada yang lain ϕ” dan oleh itu dinyatakan oleh (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "The ϕ is the ψ" dianalisis sebagai "Tepat satu perkara adalah ϕ, tepat satu hal adalah ψ, dan apa pun ϕ adalah ψ" dan karenanya dapat dinyatakan oleh (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx dan (ιx) ϕx = (ιy) ψy kemudian dapat dianggap sebagai singkatan untuk (1), (2), dan (3), masing-masing; dan dengan menggeneralisasikan kes yang lebih kompleks, semua wff yang mengandungi operator penerangan dapat dianggap sebagai singkatan untuk wff yang lebih lama yang tidak.

Analisis yang mengarah ke (1) sebagai formula untuk "The ϕ is ψ" membawa kepada yang berikut untuk "The ϕ is not ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Penting untuk diperhatikan bahawa (4) bukan penolakan (1); penolakan ini adalah, sebaliknya, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Perbezaan makna antara (4) dan (5) terletak pada kenyataan bahawa (4) adalah benar hanya apabila ada satu perkara yang ϕ dan perkara itu bukan ψ, tetapi (5) berlaku baik dalam hal ini dan juga apabila tidak ada apa-apa when dan apabila lebih daripada satu perkara ϕ. Mengabaikan perbezaan antara (4) dan (5) boleh mengakibatkan kekeliruan pemikiran yang serius; dalam pertuturan biasa sering tidak jelas sama ada seseorang yang menyangkal bahawa ϕ adalah ψ mengakui bahawa satu perkara itu ϕ tetapi menafikan bahawa itu adalah ψ, atau menafikan bahawa satu perkara itu ϕ.

Pernyataan asas teori deskripsi Russell adalah bahawa proposisi yang mengandungi keterangan pasti tidak boleh dianggap sebagai penegasan mengenai objek yang keterangan itu adalah nama melainkan sebagai pernyataan yang ada secara kuantitatif bahawa harta tertentu (agak kompleks) satu contoh. Secara formal, ini tercermin dalam peraturan untuk menghapuskan operator penerangan yang digariskan di atas.