Sejarah analisis
Orang Yunani menghadapi kekuatan berterusan
Analisis terdiri daripada bahagian-bahagian matematik di mana perubahan berterusan adalah penting. Ini termasuk kajian gerakan dan geometri lengkung dan permukaan licin — khususnya, pengiraan tangen, luas, dan isipadu. Ahli matematik Yunani kuno membuat kemajuan besar dalam teori dan praktik analisis. Teori dipaksa oleh mereka sekitar 500 bce oleh penemuan Pythagoras mengenai magnitud yang tidak rasional dan sekitar 450 bce oleh gerakan paradoks Zeno.
Angka Pythagoras dan tidak rasional
Pada mulanya, orang Pythagoras percaya bahawa semua perkara dapat diukur dengan nombor semula jadi yang diskrit (1, 2, 3,
) dan nisbahnya (pecahan biasa, atau nombor rasional). Kepercayaan ini terguncang, bagaimanapun, oleh penemuan bahawa pepenjuru dari satuan persegi (iaitu, sebuah segiempat sama yang panjangnya 1) tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Penemuan ini dilakukan oleh teorema Pythagoras mereka sendiri, yang membuktikan bahawa segi empat sama hipotenus segitiga kanan sama dengan jumlah kuadrat pada dua sisi lain — dalam notasi moden, c 2 = a 2 + b 2. Di segi empat sama, pepenjuru adalah hipotenus segitiga kanan, dengan sisi a = b = 1; oleh itu, ukurannya adalah akar Persegi 22 - nombor tidak rasional. Melawan niat mereka sendiri, orang Pythagoras menunjukkan bahawa bilangan rasional tidak mencukupi untuk mengukur objek geometri yang sederhana. (Lihat Sidebar: Tidak dapat diukur.) Reaksi mereka adalah untuk membuat aritmetik segmen garis, seperti yang terdapat dalam Buku II Euclid's Elements (sekitar 300 bce), yang merangkumi tafsiran geometri nombor rasional. Bagi orang Yunani, segmen garis lebih umum daripada angka, kerana ia merangkumi besaran berterusan dan diskrit.
Sememangnya, akar Persegi of2 dapat dikaitkan dengan nombor rasional hanya melalui proses yang tidak terhingga. Ini disedari oleh Euclid, yang mempelajari aritmetik nombor rasional dan segmen garis. Algoritma Euclidean yang terkenal, apabila diterapkan pada sepasang nombor semula jadi, membawa sejumlah langkah kepada pembahagi umum mereka yang paling besar. Namun, apabila diterapkan pada sepasang segmen garis dengan nisbah tidak rasional, seperti akar Persegi √2 dan 1, ia gagal ditamatkan. Euclid malah menggunakan harta tanpa gangguan ini sebagai kriteria untuk tidak rasional. Oleh itu, tidak rasional mencabar konsep nombor Yunani dengan memaksa mereka untuk menangani proses yang tidak terbatas.
Paradoks Zeno dan konsep gerakan
Sama seperti akar kuadrat dari√2 adalah cabaran kepada konsep nombor orang Yunani, paradoks Zeno adalah cabaran kepada konsep gerak mereka. Dalam Fiziknya (sekitar 350 bce), Aristoteles memetik Zeno sebagai berkata:
Tidak ada gerakan kerana apa yang digerakkan mesti tiba di tengah [kursus] sebelum tiba di penghujung.
Hujah Zeno hanya diketahui melalui Aristoteles, yang mengutipnya terutama untuk membantahnya. Agaknya, Zeno bermaksud, untuk ke mana sahaja, seseorang mesti terlebih dahulu pergi separuh jalan dan sebelum itu seperempat jalan dan sebelum itu seperlapan jalan dan seterusnya. Kerana proses mengurangkan jarak ini akan terus berlanjutan (konsep yang tidak akan diterima oleh orang Yunani), Zeno mengaku "membuktikan" bahawa realiti terdiri dari makhluk yang tidak berubah. Walaupun begitu, walaupun mereka tidak berminat, orang Yunani mendapati bahawa konsep itu sangat diperlukan dalam matematik yang berterusan. Oleh itu, mereka beralasan tentang tak terhingga sebanyak mungkin, dalam kerangka logik yang disebut teori perkadaran dan menggunakan kaedah keletihan.
Teori perkadaran diciptakan oleh Eudoxus sekitar 350 bce dan disimpan dalam Buku V Elemen Euclid. Ini mewujudkan hubungan yang tepat antara magnitud rasional dan magnitud sewenang-wenangnya dengan mendefinisikan dua magnitud yang sama jika magnitud rasional kurang daripada mereka adalah sama. Dengan kata lain, dua magnitud berbeza hanya jika terdapat magnitud rasional di antara mereka. Definisi ini melayani ahli matematik selama dua milenium dan membuka jalan untuk penghitungan analisis pada abad ke-19, di mana nombor sewenang-wenang didefinisikan dengan ketat dari segi nombor rasional. Teori perkadaran adalah perlakuan pertama yang ketat terhadap konsep had, idea yang menjadi teras analisis moden. Dalam istilah moden, teori Eudoxus mendefinisikan magnitud sewenang-wenang sebagai had magnitud rasional, dan teorema asas mengenai jumlah, perbezaan, dan produk besarannya setara dengan teorema mengenai jumlah, perbezaan, dan produk had.
