Hippocrates of Chios (fl. C. 460 bc) menunjukkan bahwa daerah berbentuk bulan antara busur bulat, yang dikenal sebagai lunes, dapat dinyatakan persis sebagai daerah segiempat, atau kuadratur. Dalam kes sederhana berikut, dua lunes yang dikembangkan di sekitar sisi segitiga kanan mempunyai luas gabungan sama dengan segitiga.
-
Bermula dengan ΔABC kanan, lukis bulatan yang diameternya bertepatan dengan AB (sisi c), hipotenus. Oleh kerana segitiga tepat yang dilukis dengan diameter bulatan untuk hipotenusinya mesti ditulis di dalam lingkaran, C mesti berada di atas bulatan.
-
Lukiskan separuh bulatan dengan diameter AC (sisi b) dan BC (sisi a) seperti dalam rajah.
-
Label lunes yang dihasilkan L 1 dan L 2 dan segmen yang dihasilkan S 1 dan S 2, seperti yang ditunjukkan dalam gambar.
-
Sekarang jumlah lunes (L 1 dan L 2) mesti sama dengan jumlah separuh bulatan (L 1 + S 1 dan L 2 + S 2) yang mengandungi mereka tolak dua segmen (S 1 dan S 2). Oleh itu, L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (kerana luas bulatan adalah π kali persegi kuadrat jejari).
-
Jumlah segmen (S 1 dan S 2) sama dengan luas bulatan berdasarkan AB tolak luas segitiga. Oleh itu, S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC.
-
Menggantikan ungkapan dalam langkah 5 ke langkah 4 dan memfaktorkan istilah umum, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC.
-
Oleh ∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, oleh teorem Pythagoras. Oleh itu, L 1 + L 2 = ΔABC.
Hippocrates berjaya memangkas beberapa jenis lunes, beberapa pada busur lebih besar dan kurang dari setengah lingkaran, dan dia mengisyaratkan, walaupun dia mungkin tidak mempercayai, bahawa metodenya dapat membentuk seluruh bulatan. Pada akhir zaman klasik, Boethius (sekitar 470–524 iklan), yang terjemahan Latin dari potongan Euclid akan membuat cahaya geometri berkelip selama setengah milenium, menyebutkan bahawa seseorang telah mencapai kuasa bulatan. Sama ada genius yang digunakan untuk menggunakan lune atau kaedah lain tidak diketahui, kerana kekurangan ruang Boethius tidak memberikan demonstrasi. Oleh itu, ia menyampaikan tantangan kuadratur bulatan bersama dengan fragmen geometri yang nampaknya berguna dalam melaksanakannya. Orang Eropah terus menjalankan tugas tanpa henti sehingga menjadi Pencerahan. Akhirnya, pada tahun 1775, Akademi Sains Paris, yang muak dengan tugas mencari kesalahan dalam banyak penyelesaian yang dikemukakan kepadanya, menolak untuk melakukan apa-apa lagi dengan squarers lingkaran.
