Analisis vektor, cabang matematik yang menangani kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah. Sebilangan kuantiti fizikal dan geometri, yang disebut skalar, dapat ditentukan sepenuhnya dengan menentukan besarnya dalam unit ukuran yang sesuai. Oleh itu, jisim dapat dinyatakan dalam gram, suhu dalam darjah pada beberapa skala, dan waktu dalam beberapa saat. Skala dapat ditunjukkan secara grafik dengan titik pada beberapa skala berangka seperti jam atau termometer. Terdapat juga kuantiti, yang disebut vektor, yang memerlukan spesifikasi arah dan besarnya. Kecepatan, daya, dan anjakan adalah contoh vektor. Kuantiti vektor dapat ditunjukkan secara grafik oleh segmen garis terarah, dilambangkan dengan anak panah yang menunjuk ke arah kuantiti vektor, dengan panjang segmen mewakili besarnya vektor.
geometri analitik: Analisis vektor
Di ruang Euclidean dengan dimensi apa pun, vektor — segmen garis yang diarahkan — dapat ditentukan oleh koordinat. N-tuple (a1, .
Aljabar vektor.
Prototaip vektor adalah segmen garis terarah AB (lihat Rajah 1) yang boleh dianggap mewakili perpindahan zarah dari kedudukan awalnya ke kedudukan baru B. Untuk membezakan vektor dari skalar adalah kebiasaan untuk menunjukkan vektor dengan huruf tebal. Oleh itu vektor AB dalam Rajah 1 dapat dilambangkan dengan a dan panjangnya (atau besarnya) dengan | a |. Dalam banyak masalah, lokasi titik awal vektor tidak penting, sehingga dua vektor dianggap sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama.
Persamaan dua vektor a dan b dilambangkan dengan notasi simbolik biasa a = b, dan definisi berguna operasi asas algebra pada vektor disarankan oleh geometri. Oleh itu, jika AB = a dalam Rajah 1 mewakili perpindahan zarah dari A ke B dan seterusnya zarah tersebut dipindahkan ke posisi C, sehingga BC = b, jelas bahawa perpindahan dari A ke C dapat dicapai dengan satu anjakan AC = c. Oleh itu, adalah logik untuk menulis a + b = c. Pembinaan jumlah, c, a dan b ini menghasilkan hasil yang sama dengan hukum parallelogram di mana c yang dihasilkan diberikan oleh AC pepenjuru dari parallelogram yang dibina pada vektor AB dan AD sebagai sisi. Oleh kerana lokasi titik awal B vektor BC = b tidak penting, maka BC = AD. Gambar 1 menunjukkan bahawa AD + DC = AC, supaya undang-undang komutatif
memegang untuk penambahan vektor. Juga, mudah untuk menunjukkan bahawa undang-undang bersekutu
adalah sah, dan oleh itu tanda kurung di (2) dapat dihilangkan tanpa sebarang kekaburan.
Sekiranya s adalah skalar, sa atau seperti yang didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya | s || a | dan yang arahnya adalah ketika s positif dan bertentangan dengan arah jika s negatif. Oleh itu, a dan -a adalah vektor yang sama besarnya tetapi berlawanan arah. Definisi di atas dan sifat nombor skalar yang terkenal (diwakili oleh s dan t) menunjukkan bahawa
Sejauh undang-undang (1), (2), dan (3) sama dengan yang dijumpai dalam aljabar biasa, adalah wajar untuk menggunakan peraturan aljabar biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mengandungi vektor. Fakta ini memungkinkan untuk membuat kesimpulan dengan kaedah aljabar semata-mata banyak teorema geometri Euclidean sintetik yang memerlukan pembinaan geometri yang rumit.
Produk vektor.
Pendaraban vektor membawa kepada dua jenis produk, produk titik dan produk silang.
Hasil titik atau skalar dua vektor a dan b, ditulis a · b, adalah nombor nyata | a || b | cos (a, b), di mana (a, b) menunjukkan sudut antara arah a dan b. Secara geometri,
Sekiranya a dan b berada pada sudut tepat maka a · b = 0, dan jika kedua-dua a dan b bukan vektor sifar maka hilangnya titik produk menunjukkan vektor menjadi tegak lurus. Sekiranya a = b maka cos (a, b) = 1, dan a · a = | a | 2 memberikan segiempat sama panjang a.
Hukum asosiatif, komutatif, dan distributif dari algebra dasar adalah sah untuk pendaraban vektor titik.
Hasil salib atau vektor dua vektor a dan b, ditulis a × b, adalah vektor
di mana n adalah vektor panjang unit yang berserenjang dengan satah a dan b dan diarahkan supaya skru tangan kanan yang dipusingkan dari arah b akan maju ke arah n (lihat Rajah 2). Sekiranya a dan b selari, a × b = 0. Besarnya a × b dapat diwakili oleh luas selari yang mempunyai a dan b sebagai sisi bersebelahan. Juga, kerana putaran dari b ke a berlawanan dengan putaran ke b,
Ini menunjukkan bahawa produk silang tidak bersifat komutatif, tetapi undang-undang bersekutu (sa) × b = s (a × b) dan undang-undang distributif
sah untuk produk silang.
Sistem koordinat.
Oleh kerana undang-undang empirik fizik tidak bergantung pada pilihan bingkai rujukan khas atau tidak sengaja yang dipilih untuk mewakili hubungan fizikal dan konfigurasi geometri, analisis vektor membentuk alat yang ideal untuk kajian alam semesta fizikal. Pengenalan kerangka rujukan khas atau sistem koordinat mewujudkan korespondensi antara vektor dan set nombor yang mewakili komponen vektor dalam bingkai itu, dan ia mendorong peraturan operasi yang pasti pada set nombor ini yang mengikuti peraturan operasi pada talian segmen.
Sekiranya beberapa kumpulan tiga vektor bukan kolin tertentu (disebut vektor dasar) dipilih, maka sebarang vektor A dapat dinyatakan secara unik sebagai pepenjuru paralel yang ujungnya adalah komponen A dalam arah vektor dasar. Yang biasa digunakan adalah sekumpulan tiga vektor unit ortogonal yang saling bersama (iaitu, vektor panjang 1) i, j, k yang diarahkan sepanjang paksi kerangka rujukan Cartesian yang sudah biasa (lihat Gambar 3). Dalam sistem ini ungkapan mengambil bentuk
di mana x, y, dan z adalah unjuran A pada paksi koordinat. Apabila dua vektor A 1 dan A 2 dilambangkan sebagai
maka penggunaan undang-undang (3) menghasilkan jumlahnya
Oleh itu, dalam kerangka Cartesian, jumlah A 1 dan A 2 adalah vektor yang ditentukan oleh (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3). Juga, produk titik boleh ditulis
sejak
Penggunaan undang-undang (6) menghasilkan untuk
supaya produk silang adalah vektor yang ditentukan oleh tiga nombor yang muncul sebagai pekali i, j, dan k di (9).
Sekiranya vektor diwakili oleh matriks 1 × 3 (atau 3 × 1) yang terdiri daripada komponen (x 1, x 2, x 3) vektor, adalah mungkin untuk menyusun semula formula (7) hingga (9) dalam bahasa matrik. Kata-kata semula ini menunjukkan generalisasi konsep vektor ke ruang dimensi yang lebih tinggi daripada tiga. Sebagai contoh, keadaan gas pada amnya bergantung pada tekanan p, isipadu v, suhu T, dan masa t. Nombor empat kali ganda (p, v, T, t) tidak dapat ditunjukkan oleh titik dalam kerangka rujukan tiga dimensi. Tetapi oleh kerana visualisasi geometri tidak memainkan peranan dalam pengiraan algebra, bahasa kiasan geometri masih boleh digunakan dengan memperkenalkan rangka empat dimensi rujukan yang ditentukan oleh set vektor asas yang 1, a 2, a 3, yang 4 dengan komponen ditentukan oleh baris matriks
Vektor x kemudian ditunjukkan dalam bentuk
supaya dalam ruang empat dimensi, setiap vektor ditentukan oleh segi empat komponen (x 1, x 2, x 3, x 4).
