Masalah matematik Sturm-Liouville

Masalah Sturm-Liouville, atau masalah nilai eigen, dalam matematik, kelas persamaan pembezaan separa (PDE) tertentu yang dikenakan batasan tambahan, yang dikenali sebagai nilai sempadan, pada penyelesaiannya. Persamaan seperti itu biasa berlaku dalam kedua-dua fizik klasik (misalnya, konduksi terma) dan mekanik kuantum (contohnya, persamaan Schrödinger) untuk menggambarkan proses di mana beberapa nilai luaran (nilai sempadan) dipegang tetap sementara sistem minat menghantar beberapa bentuk tenaga.

Pada pertengahan tahun 1830-an ahli matematik Perancis Charles-François Sturm dan Joseph Liouville secara bebas mengusahakan masalah pengaliran haba melalui bar logam, dalam proses mengembangkan teknik untuk menyelesaikan kelas besar PDE, yang paling sederhana dalam bentuk [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 di mana y adalah sebilangan kuantiti fizikal (atau fungsi gelombang mekanik kuantum) dan λ adalah parameter, atau nilai eigen, yang menyekat persamaan sehingga bahawa y memenuhi nilai sempadan pada titik akhir selang di mana pemboleh ubah x berkisar. Sekiranya fungsi p, q, dan r memenuhi syarat yang sesuai, persamaan akan mempunyai sekelompok penyelesaian, yang disebut fungsi eigen, sesuai dengan penyelesaian nilai eigen.

Untuk kes tidak homogen yang lebih rumit di mana sebelah kanan persamaan di atas adalah fungsi, f (x), dan bukannya sifar, nilai eigen dari persamaan homogen yang sesuai dapat dibandingkan dengan nilai eigen dari persamaan asal. Sekiranya nilai-nilai ini berbeza, masalahnya akan mempunyai jalan penyelesaian yang unik. Sebaliknya, jika salah satu dari nilai eigen ini sesuai, masalahnya tidak akan mempunyai penyelesaian atau sekelompok penyelesaian, bergantung pada sifat fungsi f (x).