Hipotesis Riemann, dalam teori nombor, hipotesis oleh ahli matematik Jerman Bernhard Riemann mengenai lokasi penyelesaian untuk fungsi zeta Riemann, yang dihubungkan dengan teorema nombor perdana dan mempunyai implikasi penting untuk pembahagian nombor perdana. Riemann memasukkan hipotesis dalam sebuah makalah, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Mengenai Jumlah Nombor Perdana Lebih Daripada Kuantiti yang Diberikan"), yang diterbitkan dalam edisi November 1859 Monatsberichte der Berliner Akademie ("Ulasan Bulanan Akademi Berlin ”).
Fungsi zeta ditakrifkan sebagai siri tak terbatas ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, atau, dalam notasi yang lebih padat, , di mana penjumlahan (Σ) istilah untuk n berjalan dari 1 hingga tak terhingga melalui bilangan bulat positif dan s adalah bilangan bulat positif tetap lebih besar daripada 1. Fungsi zeta pertama kali dikaji oleh ahli matematik Switzerland Leonhard Euler pada abad ke-18. (Atas sebab ini, kadang-kadang disebut fungsi Euler zeta. Untuk ζ (1), siri ini hanyalah siri harmonik, yang dikenali sejak zaman kuno meningkat tanpa terikat — iaitu, jumlahnya tidak terhingga.) Euler mencapai kemasyhuran segera ketika dia dibuktikan dalam 1735 yang ζ (2) = π 2 /6, masalah yang telah terurai matematika yang terbesar era, termasuk keluarga Swiss Bernoulli (Jakob, Johann, dan Daniel). Secara lebih umum, Euler menemui (1739) hubungan antara nilai fungsi zeta untuk bilangan bulat genap dan nombor Bernoulli, yang merupakan pekali dalam pengembangan siri Taylor x / (e x - 1). (Lihat juga fungsi eksponensial.) Masih lebih mengagumkan, pada tahun 1737 Euler menemui formula yang berkaitan dengan fungsi zeta, yang melibatkan penjumlahan urutan istilah yang tidak terbatas yang mengandungi bilangan bulat positif, dan produk tak terhingga yang melibatkan setiap nombor perdana:
Riemann melanjutkan kajian fungsi zeta untuk memasukkan nombor kompleks x + iy, di mana i = Akar kuadrat dari − 1, kecuali garis x = 1 di satah kompleks. Riemann tahu bahawa fungsi zeta sama dengan sifar untuk semua bilangan bulat negatif negative2, −4, −6,
(disebut sifar sepele) dan bahawa ia mempunyai bilangan sifar yang tidak terhingga dalam jalur kritis nombor kompleks yang jatuh betul-betul di antara garis x = 0 dan x = 1. Dia juga tahu bahawa semua sifar nontrivial adalah simetri berkenaan dengan garis kritikal x = 1 / 2. Riemann menduga bahawa semua sifar nontrivial berada pada garis kritikal, sangkaan yang kemudiannya dikenali sebagai hipotesis Riemann.
Pada tahun 1914 ahli matematik Inggeris Godfrey Harold Hardy membuktikan bahawa nombor terhingga penyelesaian ζ (s) = 0 wujud pada baris kritikal x = 1 / 2. Selanjutnya ditunjukkan oleh pelbagai ahli matematik bahawa sebilangan besar penyelesaian mesti berada pada garis kritis, walaupun "bukti" yang kerap menunjukkan bahawa semua penyelesaian yang tidak biasa ada di dalamnya cacat. Komputer juga telah digunakan untuk menguji penyelesaian, dengan 10 trilion penyelesaian tidak biasa yang ditunjukkan berada di garis kritikal.
Bukti hipotesis Riemann akan membawa kesan yang besar bagi teori nombor dan penggunaan bilangan prima dalam kriptografi.
Hipotesis Riemann telah lama dianggap masalah terbesar dalam matematik. Itu adalah salah satu daripada 10 masalah matematik yang belum terselesaikan (23 dalam alamat bercetak) yang dikemukakan sebagai cabaran bagi ahli matematik abad ke-20 oleh ahli matematik Jerman David Hilbert di Kongres Matematik Antarabangsa Kedua di Paris pada 8 Ogos 1900. Pada tahun 2000 ahli matematik Amerika Stephen Smale mengemas kini idea Hilbert dengan senarai masalah penting untuk abad ke-21; hipotesis Riemann adalah nombor satu. Pada tahun 2000 ia ditetapkan sebagai Masalah Milenium, salah satu daripada tujuh masalah matematik yang dipilih oleh Clay Mathematics Institute of Cambridge, Mass., AS, untuk anugerah khas. Penyelesaian untuk setiap Masalah Milenium bernilai $ 1 juta. Pada tahun 2008, Agensi Projek Penyelidikan Lanjutan Pertahanan AS (DARPA) menyenaraikannya sebagai salah satu Cabaran Matematik DARPA, 23 masalah matematik yang mana ia meminta cadangan penyelidikan untuk pembiayaan— "Matematik Cabaran Sembilan belas: Selesaikan Hipotesis Riemann. Teori Holy Grail nombor."
