Logik dan metalogik
Dalam satu pengertian, logik harus diidentifikasi dengan predikat kalkulus dari urutan pertama, kalkulus di mana pemboleh ubah terbatas pada individu dari domain tetap — walaupun mungkin termasuk juga logik identiti, yang dilambangkan “=,” yang mengambil sifat identiti biasa sebagai sebahagian daripada logik. Dalam pengertian ini, Gottlob Frege mencapai kalkulus logik formal seawal tahun 1879. Kadang-kadang logik ditafsirkan, tetapi juga merangkumi perhitungan predikat yang lebih tinggi, yang mengakui pemboleh ubah jenis yang lebih tinggi, seperti yang terdiri daripada predikat (atau kelas dan hubungan) dan sebagainya. Tetapi kemudian ini adalah langkah kecil untuk memasukkan teori set, dan, sebenarnya, teori set aksiomatik sering dianggap sebagai bagian dari logik. Walau bagaimanapun, untuk tujuan artikel ini, adalah lebih tepat untuk membatasi perbincangan dengan logik dalam pengertian pertama.
Sukar untuk memisahkan penemuan logik yang signifikan daripada yang ada dalam metalogik, kerana semua teorema yang menarik minat ahli logik adalah mengenai logik dan oleh itu tergolong dalam metalogik. Sekiranya p adalah teorema matematik — khususnya, satu mengenai logik — dan P adalah gabungan dari aksioma matematik yang digunakan untuk membuktikan p, maka setiap p dapat berubah menjadi teorema, “entah bukan-P atau p,” dalam logik. Matematik tidak dilakukan, bagaimanapun, dengan melakukan secara eksplisit semua langkah seperti yang diformalkan dalam logik; pemilihan dan pemahaman intuitif aksioma adalah penting untuk matematik dan juga metamatematik. Penurunan sebenar dalam logik, seperti yang dilakukan sebelum Perang Dunia I oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, tidak begitu menarik minat ahli logik. Oleh itu, mungkin kelihatan berlebihan untuk memperkenalkan istilah metalogik. Dalam klasifikasi sekarang, bagaimanapun, metalogik dianggap tidak hanya berurusan dengan penemuan mengenai kalkulus logik tetapi juga dengan kajian sistem formal dan bahasa formal secara umum.
Sistem formal biasa berbeza dengan kalkulus logik kerana sistem biasanya mempunyai penafsiran yang dimaksudkan, sedangkan kalkulus logik sengaja membiarkan tafsiran yang mungkin terbuka. Oleh itu, seseorang berbicara, misalnya, tentang kebenaran atau kepalsuan ayat dalam sistem formal, tetapi berkenaan dengan kalkulus logik seseorang berbicara tentang kesahihan (iaitu, benar dalam semua tafsiran atau di semua kemungkinan dunia) dan kepuasan (atau mempunyai model — iaitu, benar dalam beberapa tafsiran tertentu). Oleh itu, kelengkapan kalkulus logik mempunyai arti yang sangat berbeza dengan sistem formal: kalkulus logik membenarkan banyak kalimat sehingga kalimat atau penolakannya tidak menjadi teorema kerana benar dalam beberapa tafsiran dan yang salah dalam yang lain, dan hanya memerlukan setiap ayat yang sah menjadi teorema.
