Ahli matematik Yunani Diophantus

Diophantus, nama panggilan Diophantus dari Alexandria, (berkembang sekitar tahun 250), ahli matematik Yunani, terkenal dengan karyanya dalam aljabar.

teori nombor: Diophantus

Dari ahli matematik Yunani kemudian, yang paling penting ialah Diophantus dari Alexandria (berkembang sekitar 250), pengarang

Apa yang sedikit diketahui mengenai kehidupan Diophantus adalah tidak langsung. Dari sebutan "Alexandria" nampaknya dia bekerja di pusat ilmiah utama dunia kuno Yunani; dan kerana dia tidak disebut sebelum abad ke-4, nampaknya dia berkembang pada abad ke-3. Epigram aritmetik dari Anthologia Graeca pada zaman kuno, dikatakan akan menelusuri semula beberapa mercu tanda hidupnya (perkahwinan pada usia 33 tahun, kelahiran anaknya pada usia 38 tahun, kematian anaknya empat tahun sebelum kelahirannya pada usia 84 tahun), mungkin dapat dibayangkan. Dua karya kami sampaikan di bawah namanya, kedua-duanya tidak lengkap. Yang pertama adalah pecahan kecil pada nombor poligonal (nombor adalah poligonal jika bilangan titik yang sama dapat disusun dalam bentuk poligon biasa). Yang kedua, sebuah risalah besar dan sangat berpengaruh di mana semua ketenaran kuno dan moden Diophantus muncul, adalah Arithmetica-nya. Kepentingan sejarahnya ada dua: ia adalah karya pertama yang diketahui menggunakan aljabar dalam gaya moden, dan ia mengilhami kelahiran semula teori nombor.

Arithmetica bermula dengan pengantar yang ditujukan kepada Dionysius — boleh dikatakan St. Dionysius dari Alexandria. Setelah beberapa kesamaan mengenai nombor, Diophantus menjelaskan simbolismenya - dia menggunakan simbol untuk yang tidak diketahui (sesuai dengan x kita) dan kekuatannya, positif atau negatif, serta untuk beberapa operasi aritmetik - kebanyakan simbol ini jelas singkatan tulisan. Ini adalah kejadian pertama dan satu-satunya simbolisme algebra sebelum abad ke-15. Setelah mengajar pendaraban kekuatan yang tidak diketahui, Diophantus menerangkan pendaraban istilah positif dan negatif dan kemudian bagaimana mengurangkan persamaan dengan satu dengan hanya istilah positif (bentuk standard yang disukai pada zaman kuno). Dengan pendahuluan ini, Diophantus meneruskan masalahnya. Sesungguhnya, Arithmetica pada dasarnya adalah kumpulan masalah dengan penyelesaian, sekitar 260 bahagian masih ada.

Pengenalan itu juga menyatakan bahawa karya tersebut terbahagi kepada 13 buah buku. Enam dari buku-buku ini diketahui di Eropah pada akhir abad ke-15, disebarkan dalam bahasa Yunani oleh para sarjana Byzantine dan berjumlah dari I hingga VI; empat buku lain ditemui pada tahun 1968 dalam terjemahan Arab abad ke-9 oleh Qusṭā ibn Lūqā. Namun, teks Arab tidak mempunyai simbolisme matematik, dan tampaknya berdasarkan pada komentar Yunani kemudiannya - mungkin dari Hypatia (c. 370-415) - yang mencairkan eksposisi Diophantus. Kita sekarang tahu bahawa penomboran buku-buku Yunani mesti diubah: Arithmetica dengan demikian terdiri dari Buku I hingga III dalam bahasa Yunani, Buku IV hingga VII dalam bahasa Arab, dan, mungkin, Buku VIII hingga X dalam bahasa Yunani (bekas Buku Yunani IV hingga VI). Pengiraan semula lebih lanjut tidak mungkin; cukup yakin bahawa orang-orang Bizantium hanya mengetahui enam buku yang mereka sampaikan dan orang Arab tidak lebih dari Buku I hingga VII dalam versi yang dikomentari.

Masalah Buku I tidak bersifat, kerana kebanyakannya masalah sederhana yang digunakan untuk menggambarkan perhitungan algebra. Ciri khas dari masalah Diophantus muncul dalam buku-buku kemudian: mereka tidak tentu (mempunyai lebih daripada satu penyelesaian), berada pada darjah kedua atau dapat dikurangkan hingga darjah kedua (kekuatan tertinggi pada istilah berubah-ubah adalah 2, iaitu, x ²), dan diakhiri dengan penentuan nilai rasional positif untuk yang tidak diketahui yang akan menjadikan ungkapan algebra tertentu sebagai segi empat sama atau kadang-kadang kubus. (Sepanjang bukunya, Diophantus menggunakan "nombor" untuk merujuk pada apa yang sekarang disebut nombor positif dan rasional; dengan demikian, nombor persegi adalah petak dari beberapa nombor positif, rasional.) Buku II dan III juga mengajarkan kaedah umum. Dalam tiga masalah Buku II dijelaskan bagaimana mewakili: (1) sebarang nombor persegi yang diberi sebagai jumlah petak dua nombor rasional; (2) sebarang nombor bukan segi empat yang diberikan, yang merupakan jumlah dua petak yang diketahui, sebagai jumlah dua petak lain; dan (3) sebarang nombor rasional yang diberikan sebagai perbezaan dua petak. Walaupun masalah pertama dan ketiga dinyatakan secara umum, pengetahuan yang diandaikan tentang satu penyelesaian dalam masalah kedua menunjukkan bahawa tidak setiap nombor rasional adalah jumlah dua kotak. Diophantus kemudian memberikan syarat untuk bilangan bulat: nombor yang diberikan tidak boleh mengandungi faktor utama bentuk 4n + 3 yang dinaikkan menjadi kekuatan ganjil, di mana n adalah bilangan bulat bukan negatif. Contoh-contoh seperti itu mendorong kelahiran semula teori nombor. Walaupun Diophantus biasanya berpuas hati untuk mendapatkan satu solusi untuk masalah, dia kadang-kadang menyebutkan dalam masalah yang terdapat sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas.

Dalam Buku IV hingga VII Diophantus meluaskan kaedah asas seperti yang digariskan di atas kepada masalah darjah yang lebih tinggi yang dapat diturunkan menjadi persamaan binomial darjah pertama atau kedua. Kata pengantar buku-buku ini menyatakan bahawa tujuannya adalah untuk memberi "pengalaman dan kemahiran" kepada pembaca. Walaupun penemuan baru-baru ini tidak meningkatkan pengetahuan tentang matematik Diophantus, ini mengubah penilaian kemampuan pedagogisnya. Buku VIII dan IX (mungkin Buku Yunani IV dan V) menyelesaikan masalah yang lebih sukar, walaupun kaedah asasnya tetap sama. Sebagai contoh, satu masalah melibatkan penguraian bilangan bulat yang diberi menjadi jumlah dua petak yang sewenang-wenangnya saling berdekatan. Masalah serupa melibatkan penguraian bilangan bulat yang diberi menjadi jumlah tiga petak; di dalamnya, Diophantus tidak termasuk kes bilangan bulat yang mustahil dari bentuk 8n + 7 (sekali lagi, n adalah bilangan bulat bukan negatif). Buku X (mungkin Buku Yunani Yunani) membincangkan segitiga bersudut tegak dengan sisi rasional dan tertakluk kepada pelbagai syarat.

Isi dari tiga buku yang hilang dari Arithmetica dapat disimpulkan dari pendahuluan, di mana, setelah mengatakan bahawa pengurangan masalah harus "jika mungkin" diakhiri dengan persamaan binomial, Diophantus menambahkan bahawa dia akan "kemudian" menangani kes itu dari persamaan trinomial — janji yang tidak ditunaikan di bahagian yang masih ada.

Walaupun ia mempunyai alat algebra yang terbatas, Diophantus berjaya menyelesaikan pelbagai masalah, dan Arithmetica memberi inspirasi kepada ahli matematik Arab seperti al-Karajī (sekitar 980-1030) untuk menerapkan kaedahnya. Sambungan karya Diophantus yang paling terkenal adalah oleh Pierre de Fermat (1601–65), pengasas teori nombor moden. Di pinggir salinan Arithmetica, Fermat menulis pelbagai komen, mencadangkan penyelesaian baru, pembetulan, dan generalisasi kaedah Diophantus serta beberapa dugaan seperti teorema terakhir Fermat, yang menduduki ahli matematik untuk generasi yang akan datang. Persamaan tidak tentu yang terbatas pada penyelesaian integral telah dikenal, walaupun tidak tepat, sebagai persamaan Diophantine.