Teori kategori
Abstraksi dalam matematik
Salah satu kecenderungan baru-baru ini dalam pengembangan matematik adalah proses abstraksi secara beransur-ansur. Ahli matematik Norway Niels Henrik Abel (1802-29) membuktikan bahawa persamaan darjah lima tidak dapat diselesaikan secara radikal oleh radikal. Ahli matematik Perancis arvariste Galois (1811–32), yang sebagian didorong oleh karya Abel, memperkenalkan kumpulan permutasi tertentu untuk menentukan syarat-syarat yang diperlukan agar persamaan polinomial dapat diselesaikan. Kumpulan konkrit ini segera melahirkan kumpulan abstrak, yang digambarkan secara aksiomatik. Kemudian disedari bahawa untuk mengkaji kumpulan adalah perlu untuk melihat hubungan antara kumpulan yang berlainan - khususnya, pada homomorfisme yang memetakan satu kumpulan ke kumpulan yang lain sambil menjaga operasi kumpulan. Oleh itu, orang mula mempelajari apa yang sekarang disebut kategori kelompok konkrit, yang objeknya adalah kumpulan dan yang anak panahnya adalah homomorfisme. Tidak memerlukan masa yang lama untuk kategori konkrit digantikan oleh kategori abstrak, sekali lagi dijelaskan secara aksiomatik.
Gagasan penting bagi kategori diperkenalkan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada akhir Perang Dunia II. Kategori moden ini mesti dibezakan dari kategori Aristoteles, yang lebih baik disebut jenis dalam konteks sekarang. Kategori tidak hanya mempunyai objek tetapi juga anak panah (disebut juga sebagai morfisme, transformasi, atau pemetaan) di antara mereka.
Banyak kategori mempunyai kumpulan objek yang mempunyai struktur dan anak panah, yang mengekalkan struktur ini. Oleh itu, terdapat kategori set (dengan struktur kosong) dan pemetaan, kumpulan dan homomorfisme kumpulan, cincin dan homomorfisme cincin, ruang vektor dan transformasi linear, ruang topologi dan pemetaan berterusan, dan sebagainya. Bahkan ada, pada tahap yang lebih abstrak, kategori kategori (kecil) dan fungsi, kerana disebut morfisme antara kategori, yang memelihara hubungan antara objek dan anak panah.
Tidak semua kategori dapat dilihat dengan cara konkrit ini. Sebagai contoh, formula sistem deduktif dapat dilihat sebagai objek dari kategori yang anak panahnya f: A → B adalah potongan B dari A. Sebenarnya, sudut pandang ini penting dalam sains komputer teori, di mana formula difikirkan sebagai jenis dan potongan sebagai operasi.
Secara lebih formal, kategori terdiri dari (1) kumpulan objek A, B, C,…, (2) untuk setiap pasangan objek yang diperintahkan dalam koleksi kumpulan transformasi yang berkaitan termasuk identiti I A ∶ A → A, dan (3) undang-undang komposisi yang berkaitan untuk setiap objek yang dipesan tiga kali dalam kategori sedemikian rupa sehingga untuk f ∶ A → B dan g ∶ B → C komposisi gf (atau g ○ f) adalah transformasi dari A ke C — iaitu, gf ∶ A → C. Selain itu, undang-undang bersekutu dan identiti diperlukan untuk dipegang (di mana komposisi ditakrifkan) -iaitu, h (gf) = (hg) f dan 1 B f = f = f1 A.
Dalam arti tertentu, objek dari kategori abstrak tidak mempunyai tingkap, seperti monad Leibniz. Untuk menyimpulkan bahagian dalam objek A, seseorang hanya perlu melihat semua anak panah dari objek lain ke A. Contohnya, dalam kategori set, elemen satu set A dapat diwakili oleh anak panah dari satu elemen khas yang ditetapkan menjadi A. Begitu juga dalam kategori kategori yang kecil, jika 1 adalah kategori dengan satu objek dan tiada anak panah nonidentity, objek daripada kategori yang a boleh dikenal pasti dengan functors 1 → a. Selain itu, jika 2 adalah kategori dengan dua objek dan satu nonidentity anak panah, anak panah A boleh dikenal pasti dengan functors 2 → A.
Struktur isomorfik
Anak panah f: A → B dipanggil isomorfisma jika terdapat anak panah g: B → A songsang untuk f-iaitu, seperti yang g ○ f = 1 A dan f ○ g = 1 B. Ini ditulis A ≅ B, dan A dan B disebut isomorfik, yang bermaksud bahawa mereka pada dasarnya mempunyai struktur yang sama dan tidak perlu membezakan antara keduanya. Oleh kerana entiti matematik adalah objek kategori, mereka hanya diberikan kepada isomorfisme. Pembinaan teoretikal tradisional mereka, selain daripada melayani tujuan berguna dalam menunjukkan ketekalan, sebenarnya tidak relevan.
Sebagai contoh, dalam pembinaan cincin bulat bilangan bulat, bilangan bulat didefinisikan sebagai kelas kesetaraan pasangan (m, n) nombor semula jadi, di mana (m, n) bersamaan dengan (m ′, n ′) jika dan hanya jika m + n ′ = m ′ + n. Ideanya adalah bahawa kelas kesetaraan (m, n) harus dilihat sebagai m - n. Yang penting bagi pengkategorian, bagaimanapun, ialah cincin integ bilangan bulat adalah objek awal dalam kategori cincin dan homomorfisme — iaitu, untuk setiap cincin ℝ terdapat homomorfisme yang unik ℤ → ℝ. Dilihat dengan cara ini, ℤ hanya diberikan kepada isomorfisme. Dengan semangat yang sama, tidak boleh dikatakan bahawa ℤ terkandung dalam bidang numbers nombor rasional tetapi hanya bahawa homomorfisme ℤ → ℚ adalah satu-satu. Begitu juga, tidak masuk akal untuk membicarakan persimpangan teori-set π dan akar Persegi dari--1, jika keduanya dinyatakan sebagai kumpulan set set (ad infinitum).
Kepentingan khusus di yayasan dan di tempat lain adalah fungsi berdekatan (F, G). Ini adalah pasangan fungsi antara dua kategori ? dan ℬ, yang berlawanan arah sehingga wujud satu-ke-satu korespondensi antara kumpulan anak panah F (A) → B dalam ℬ dan set anak panah A → G (B) dalam ? - iaitu, setnya adalah isomorfik.
