Persamaan pembezaan, pernyataan matematik yang mengandungi satu atau lebih derivatif — iaitu istilah yang mewakili kadar perubahan kuantiti yang terus berubah. Persamaan pembezaan sangat umum dalam sains dan kejuruteraan, serta di banyak bidang kajian kuantitatif lain, kerana yang dapat diperhatikan dan diukur secara langsung untuk sistem yang mengalami perubahan adalah kadar perubahannya. Penyelesaian persamaan pembezaan adalah, secara umum, persamaan yang menyatakan kebergantungan fungsional satu pemboleh ubah kepada satu atau lebih yang lain; biasanya mengandungi istilah tetap yang tidak terdapat dalam persamaan pembezaan asal. Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahawa penyelesaian persamaan pembezaan menghasilkan fungsi yang dapat digunakan untuk meramalkan tingkah laku sistem asal, sekurang-kurangnya dalam batasan tertentu.
analisis: Newton dan persamaan pembezaan
penerapan analisis adalah persamaan pembezaan, yang mengaitkan kadar perubahan pelbagai kuantiti dengan nilai semasa,
Persamaan pembezaan dikelaskan kepada beberapa kategori luas, dan ini seterusnya dibahagikan kepada banyak subkategori. Kategori yang paling penting ialah persamaan pembezaan biasa dan persamaan pembezaan separa. Apabila fungsi yang terlibat dalam persamaan hanya bergantung pada satu pemboleh ubah, derivatifnya adalah derivatif biasa dan persamaan pembezaan dikelaskan sebagai persamaan pembezaan biasa. Sebaliknya, jika fungsi bergantung pada beberapa pemboleh ubah tidak bersandar, sehingga terbitannya adalah terbitan separa, persamaan pembezaan diklasifikasikan sebagai persamaan pembezaan separa. Berikut adalah contoh persamaan pembezaan biasa:
Dalam ini, y bermaksud fungsi, dan sama ada t atau x adalah pemboleh ubah tidak bersandar. Simbol k dan m digunakan di sini untuk bermaksud pemalar tertentu.
Apa pun jenisnya, persamaan pembezaan dikatakan urutan ke-9 jika melibatkan turunan dari urutan ke-9 tetapi tidak ada turunan dari pesanan yang lebih tinggi daripada ini. Persamaan adalah contoh persamaan pembezaan separa dari urutan kedua. Teori persamaan pembezaan biasa dan separa sangat berbeza, dan untuk alasan ini kedua-dua kategori diperlakukan secara berasingan.
Daripada persamaan pembezaan tunggal, objek kajian mungkin merupakan sistem persamaan serentak. Perumusan undang-undang dinamika sering membawa kepada sistem seperti itu. Dalam banyak kes, satu persamaan pembezaan dari urutan ke-9 dapat digantikan dengan sistem persamaan serentak n, yang masing-masing adalah urutan pertama, sehingga teknik dari aljabar linear dapat diterapkan.
Persamaan pembezaan biasa di mana, misalnya, fungsi dan pemboleh ubah bebas dilambangkan oleh y dan x sebenarnya merupakan ringkasan tersirat mengenai ciri penting y sebagai fungsi x. Ciri-ciri ini mungkin lebih mudah untuk dianalisis jika formula eksplisit untuk y dapat dihasilkan. Rumus seperti itu, atau paling tidak persamaan dalam x dan y (tidak melibatkan derivatif) yang dapat ditolak dari persamaan pembezaan, disebut penyelesaian persamaan pembezaan. Proses menyimpulkan penyelesaian dari persamaan dengan aplikasi algebra dan kalkulus disebut penyelesaian atau penggabungan persamaan. Akan tetapi, perlu diperhatikan bahawa persamaan pembezaan yang dapat diselesaikan secara eksplisit hanyalah minoriti kecil. Oleh itu, kebanyakan fungsi mesti dikaji dengan kaedah tidak langsung. Bahkan keberadaannya mesti dibuktikan apabila tidak ada kemungkinan menghasilkannya untuk diperiksa. Dalam praktiknya, kaedah dari analisis numerik, yang melibatkan komputer, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian yang berguna.
