Hipotesis kontinum, penyataan teori set bahawa set nombor nyata (kontinum) dalam arti sekecil yang boleh. Pada tahun 1873, ahli matematik Jerman, Georg Cantor membuktikan bahawa kontinum itu tidak dapat dihitung — iaitu, bilangan sebenarnya adalah tak terhingga yang lebih besar daripada angka pengiraan — hasil utama dalam memulakan teori set sebagai subjek matematik. Selanjutnya, Cantor mengembangkan cara untuk mengklasifikasikan ukuran set tak terhingga mengikut bilangan elemennya, atau kardinalitasnya. (Lihat teori set: Kardinaliti dan nombor transfinit.) Dalam istilah ini, hipotesis kontinum dapat dinyatakan seperti berikut: Kardinaliti kontinum adalah nombor kardinal terkecil yang tidak terkira.
teori set: Kardinaliti dan nombor transfinit
sangkaan yang dikenali sebagai hipotesis kontinum.
Dalam notasi Cantor, hipotesis kontinum dapat dinyatakan dengan persamaan sederhana 2 ℵ 0 = ℵ 1, di mana ℵ 0 adalah nombor kardinal bagi set yang tidak dapat dikira (seperti set nombor semula jadi), dan bilangan kardinal lebih besar " set yang boleh ditempah dengan baik ”adalah ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, diindeks oleh nombor ordinal. Kardinaliti kontinum dapat ditunjukkan sama dengan 2 ℵ 0; oleh itu, hipotesis kontinum menolak kewujudan sekumpulan ukuran antara nombor semula jadi dan kontinum.
Pernyataan yang lebih kuat ialah hipotesis kontinum umum (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 untuk setiap nombor ordinal α. Ahli matematik Poland Wacław Sierpiński membuktikan bahawa dengan GCH seseorang dapat memperoleh aksioma pilihan.
Seperti aksioma pilihan, ahli matematik Amerika kelahiran Kurt Gödel membuktikan pada tahun 1939 bahawa, jika aksioma Zermelo-Fraenkel standard lain (ZF; lihat
jadual) konsisten, maka mereka tidak membantah hipotesis kontinum atau bahkan GCH. Maksudnya, hasil penambahan GCH ke aksioma lain tetap konsisten. Kemudian pada tahun 1963 ahli matematik Amerika Paul Cohen melengkapkan gambar dengan menunjukkan, sekali lagi dengan anggapan bahawa ZF konsisten, bahawa ZF tidak menghasilkan bukti hipotesis kontinum.
Oleh kerana ZF tidak membuktikan atau membantah hipotesis kontinum, masih ada persoalan sama ada untuk menerima hipotesis kontinum berdasarkan konsep tidak formal mengenai set apa. Jawapan umum dalam komuniti matematik adalah negatif: hipotesis kontinum adalah pernyataan yang membatasi dalam konteks di mana tidak ada alasan yang diketahui untuk mengenakan had. Dalam teori set, operasi set kuasa memberikan kepada setiap set kardinaliti set α setnya dari semua subset, yang mempunyai kardinaliti 2 ℵ α. Nampaknya tidak ada alasan untuk mengenakan batasan pada berbagai subset yang mungkin dimiliki oleh set tak terbatas.
