Geometri Euclidean
Sekiranya kita mempertimbangkan geometri Euclidean, kita dengan jelas mengetahui bahawa ia merujuk kepada undang-undang yang mengatur kedudukan badan kaku. Ini berubah menjadi pemikiran bijak untuk menelusuri kembali semua hubungan mengenai tubuh dan kedudukan relatif mereka dengan konsep "jarak" yang sangat sederhana (Strecke). Jarak menunjukkan badan yang kaku di mana dua titik bahan (markah) telah ditentukan. Konsep persamaan jarak (dan sudut) merujuk kepada eksperimen yang melibatkan kebetulan; pernyataan yang sama berlaku untuk teorema mengenai kesesuaian. Sekarang, geometri Euclidean, dalam bentuk yang telah diserahkan kepada kita dari Euclid, menggunakan konsep asas "garis lurus" dan "satah" yang sepertinya tidak sesuai, atau pada kadar apa pun, tidak begitu langsung, dengan pengalaman mengenai kedudukan badan yang kaku. Mengenai ini mesti dinyatakan bahawa konsep garis lurus boleh dikurangkan menjadi konsep jarak jauh.1 Lebih-lebih lagi, ahli geometri kurang berminat untuk mengemukakan hubungan konsep asas mereka dengan pengalaman dengan menyimpulkan secara logik cadangan geometri dari beberapa aksioma yang dinyatakan pada awalnya.
Mari kita uraikan secara ringkas bagaimana mungkin asas geometri Euclidean dapat diperoleh dari konsep jarak.
Kita bermula dari persamaan jarak (aksioma persamaan jarak). Anggap jarak dua yang tidak sama satu lebih besar daripada jarak yang lain. Aksioma yang sama berlaku untuk ketidaksamaan jarak seperti pegangan untuk ketaksamaan nombor.
Tiga jarak AB 1, BC 1, CA 1 boleh, jika CA 1 dipilih dengan tepat, tanda mereka BB 1, CC 1, AA 1 saling bertumpu sedemikian rupa sehingga hasil segitiga ABC. Jarak CA 1 mempunyai had atas yang mana pembinaan ini masih boleh dilakukan. Titik A, (BB ') dan C kemudian terletak pada "garis lurus" (definisi). Ini membawa kepada konsep: menghasilkan jarak dengan jumlah yang sama dengan dirinya sendiri; membahagi jarak menjadi bahagian yang sama; menyatakan jarak dari segi nombor dengan menggunakan batang pengukur (definisi selang ruang antara dua titik).
Apabila konsep selang antara dua titik atau panjang jarak telah diperoleh dengan cara ini, kita hanya memerlukan aksioma berikut (teorema Pythagoras) untuk sampai ke geometri Euclidean secara analitis.
Untuk setiap titik ruang (badan rujukan) tiga nombor (koordinat) x, y, z dapat ditugaskan — dan sebaliknya — sedemikian rupa sehingga untuk setiap pasangan titik A (x 1, y 1, z 1) dan B (x 2, y 2, z 2) teorema tersebut memegang:
ukur-nombor AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Semua konsep dan cadangan geometri Euclidean selanjutnya dapat dibangun secara logik berdasarkan asas ini, khususnya juga cadangan mengenai garis lurus dan satah.
Ucapan ini tentu saja tidak bertujuan untuk menggantikan pembinaan geometri Euclidean secara aksiomatik. Kami hanya ingin menunjukkan secara masuk akal bagaimana semua konsepsi geometri dapat ditelusuri dari jarak jauh. Kita mungkin juga telah melambangkan keseluruhan asas geometri Euclidean dalam teorem terakhir di atas. Hubungan dengan asas pengalaman kemudiannya akan dilengkapi dengan teorema tambahan.
Koordinat boleh dan mesti dipilih supaya dua pasang titik dipisahkan dengan selang waktu yang sama, seperti yang dihitung dengan bantuan teorema Pythagoras, dapat dibuat bertepatan dengan satu dan jarak yang dipilih dengan tepat (pada pepejal).
Konsep dan cadangan geometri Euclidean mungkin berasal dari cadangan Pythagoras tanpa pengenalan badan kaku; tetapi konsep dan proposisi ini tidak akan mempunyai kandungan yang dapat diuji. Itu bukan proposisi "benar" tetapi hanya cadangan yang betul secara logik dari kandungan formal semata-mata.
